UMA CAMPEÃ NA PRODUÇÃO DE AÇÚCAR.

Ao concluir em março/2009 a safra 2007/2008 a Usina Coruripe/AL atingiu uma produção de açúcar e Energia Elétrica- em números absolutos -valores maiores do que as demais unidades do mesmo Grupo Empresarial.Foram moídas 2,82 milhões de toneladas de cana-25% a mais que a safra anterior- o que produziu 5,69 milhões de sacas de açúcar;68,87 milhões de litros de álcool e 117,24 mil MW de Energia.

Este resultado torna-se mais expressivo se levando em conta que a Usina Alagoana moeu quase 500mil toneladas de cana de açúcar a menos que suas co-irmãs de mesmo porte.Na Coruripe/AL toda a cana é cortada por brasileiros.São milhares de trabalhadores que têm contratos de trabalho ,sálarios, alojamentos, transporte, enfim, condições acima da média nacional.Sobre o Reflorestamento realizado pela Coruripe, segundo o seu gerente agrícola, a usina mantém uma das maiores reservas de pau- brasil do País; Além de diversas espécies da flora brasileira. Esse projeto salvou o Ouricuri da extinção, ao reservar uma parte de suas terras para o re plantio da espécie.

A pallha do ouricuri é utilizada como matéria prima para confecção de belas peças de artesanato, garantindo emprego e renda para artesãs do Pontal do Coruripe.Uma tonelada de cana produz em média entre 100 a 110 kg de açúcar e 85 a 90 litros de álcool. Cada litro de álcool produz 13 litros de vinhaça, que é usada no processo de fertilização do solo.
VC CONSEQUE ? QUANTOS LITROS DE ÁLCOOL SÃO PRODUZIDOS COM 700 KG DE CANA DE AÇÚCAR ?

(fonte de pesquisa: jornal informativo-Usina Coruripe/2009 )

Marista Maceió - 8º Ano / teste de setembro - 2009

1) Na sequência de FIBONACCI (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...), cada termo é igual a soma dos dois termos anteriores. Assim: F17 + F18 = Fn, o valor de n é 19.
a) (F5)² - (F5)² = 25-4 = 21
(F6)² - (F4)4 = 64 - 9 = 55
(F7)² - (F5)² = 169 - 25 = 144

b) 21, 55, 144 são números da sequência de Fibonacci ocupando respectivamente as posições F8 , F10 e F12.

2) Para formar o "esqueleto":
Poliedro (1) - 6 Quadrados
Poliedro (2) - 1 Quadrado e 4 Triângulos
Poliedro (3) - 2 Hexágonos e 6 Retângulos
Poliedro (4) - 1 Hexágono e 6 Triângulos

3) Sendo o perímetro do quadrado de lado (a) igual a 64 cm, então (a) = 16. O perímetro do hexágono regular de lado (b) igual a 78 cm, então (b) = 13 cm. Logo a + b = 29.

4) A solução da equeção 3x-1/2x = 2/5 é: x=5/11, que é um número compreendido entre 0 e 1 (Letra A)

5) Os 3 comandos para o robô tartaruga andar no corredor dado no desenho é: - Avançar 4, virar 90º à direita, avançar 3, virar 90º à direita, avançar 2. (Letra A)

6) a) Como as retas são paralelas,
b = 125º (o.p.v.)
a = 55º ( 125º + 55º = 180º)
c = 55º
e = 125º ............i = 40º
g = 125º ............h = 140º
d = 55º ..............j = 130º
f = 55º

b) 200º - 4x e 4x - 80º são opostos pelo vértice; 200 - 4x = 4x + 80, Sendo x= 15, os ângulos valem 140º e os outros dois ângulos 40º.

7) a) Chamando de x = pacotinhos de areia amarela, y = pacotinhos de areia verde
3x + 2y = 8,4
y = 2x ,
x=12
y = 2,4

b) Chamando de x = carros e y = motos
x + y = 18 4
x = 2y = 60 ,
x=12
y = 6

8) a) 320/x

b) 300/x-2

c) 320/x = 300/x - 2, resolvendo a equação, x = 32.
Então 7º A tem 32 alunos e o 7º B tem 30 alunos.

9) Se o mordomo não é inocente, logo ele é culpado. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é inocente. Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada, assim a resposta correta é a letra E (o cozinheiro e o mordomo são os culpados).

10) a) Na figura o triângulo vale 6, o quadrado vale 5. Como a soma de todas as figuras é 39, então cada círculo vale 2. Letra E

b) Na peça de teatro: Ana é bruxa e Carla é fada. Letra A

Equações de 1° Grau

Ao formarmos sentenças na matemática, não escrevemos palavras, empregamos uma linguagem própria com algarismos e símbolos.Duas sentenças ligadas com o sinal de igual (=), onde usamos letras representando os valores desconhecidos, as incógnitas, chamamos de equação.

Conjunto Universo - É o conjunto formado por todos os elementos pelos quais as incógnitas de uma equação podem ser substituídas.
Raízes - São os elementos do conjunto universo que tornam a igualdade verdadeira.
Conjunto Verdade - É o conjunto cujos elementos são as raízes de uma equação.

Observações Importantes: Em uma equação, podemos adicionarou subtrair o mesmo número nos dois membros que a igualdade não se altera. O mesmo acontece quando multiplicamos ou dividimos os dois membros pelo mesmo número.

Para resolvermos uma equação de 1° grau, precisamos isolar o termo que possui a incógnita em um dos membros. Assim estamos usando os princípios aditivo e multiplicativo.
A resolução de equações estimula o raciocínio e ajuda a encontrar soluções para problemas complexos.

Vamos tentar resolver essas duas situações:

O irmão mais velho de Lígia tem 18 anos, e sua mãe, 40 anos. Há quantos anos a soma das idades dos dois era 50 anos ?

Pedro tem uma caixa com bolas verdes, amarelas e brancas. O número de bolas brancas é o triplo do número de bolas verdes. Pedro retira seis bolas brancas dessa caixa e coloca mais 20 bolas verdes e observa que, assim, ficaram quantidades iguais de bolas verdes, amarelas e brancas. Qual era a quantidade inicial de bolas na caixa, considerando as três cores ?

Os Poliedros de Platão

Platão foi um filósofo grego (427 a.C. - 347 a.C.). Entusiasta da matemática, para ele, a ciência dos números era a chave da compreensão do universo.

Platão estudou algumas propriedades interessantes dos poliedros. Você se lembra do que é um poliedro? São objetos com muitas faces planas. São polígonos que tem todos os lados de mesmo comprimento e todos os ângulos internos de mesma medida, por isso chamados regulares. Apesar de existir infinitos tipos de polígonos regulares, há apenas cinco tipos de poliedros regulares que podem ser construídos, e que Platão já destacava a beleza da forma desses sólidos, os chamados: Poliedros de Platão. São eles:

tetraedro regular (4 faces triangulares);
hexaedro regular ou cubo (6 faces quadradas);
octaedro regular (8 faces triangulares);
dodecaedro regular (12 faces pentagonais);
icosaedro regular (20 faces triangulares).

Um poliedro tem faces que são polígonos, vértices que são os pontos onde várias faces se encontram formando um bico, e arestas, são os lados dos polígonos que formam as faces.
Segundo Platão, a matemática é um saber que faz voar o pensamento para os objetos mais sublimes, estimulando a agudeza de espírito.

Agora, quantas arestas tem cada um dos poliedros de Platão? É muito simples, basta observar que as arestas são os lados dos polígonos das faces e que cada aresta surge quando juntamos dois polígonos, sendo que dois lados vão formar uma aresta.

E aí, ficou mais fácil??

O TRINÔMIO DE EULER

Leonard Euler nasceu na Basiléia, no dia 15 de abril de 1707 e morreu em São Petersburgo, no dia 18 de setembro de 1783. Desde os primeiros passos na Universidade, já era visto como um predestinado, consagrado criador dentro da matemática. Foi compondo milhares de obras, principalmente introduzindo o cálculo infinitesimal, que Euler se projetou como o matemático mais produtivo da humanidade. No clássico " Budget of Paradoxo " (Morgan), é contado o seguinte episódio: Catarina, a grande (Euler serviu na Universidade de Moscou, no País dos czares) convidou Diderot, filósofo Frances e conhecido ateu, para ouvir a demonstração algébrica que um doutor matemático ia fazer na corte, a respeito da existência de Deus. Euler, tal como a Rainha, tinha fé num criador. Em tom teatral e visando o sábio francês, Euler escreve na lousa a equação: x = a + b (elevado a n) /n e concluiu enfaticamente: portanto, Deus existe, conteste. Diderot mesmo sendo leigo em matemática compreende a peça do expositor, sente-se humilhado, principalmente porque todos riam dele, incluindo a Rainha, pede licença para se retirar.

No polinômio P(x) = x² + x + 41, chamado TRINÔMIO DE EULER , se encontrarmos o valor numérico desse polinômio, para x= -40, -39, ..., 39, encontraremos certamente números primos. Entretanto, para x= 40 e x= 41, os valores numéricos naõ saõ primos. E para x= 42 ? Naõ se sabe se o trinômio de Euler produz um número infinito de primos para valores inteiros de x.

- Qual o valor numérico do polinômio x²+x+41, para x=42 ? E para x= -38. Esses valores numéricos são primos ?

Agora com certeza, o trinômio de Euler é um verdadeiro campeão de números primos.

É LÓGICO ?

Estamos iniciando alguns textos sobre raciocínio lógico. Matéria ampla, muito requisitada ultimamente, na maioria dos concursos públicos. Essas noções elementares tem por base o princípio que para gostar de alguma coisa, é preciso conhecê-la. Então, vamos lá!
Na Grécia antiga, há mais de dois mil anos, Aristóteles, pode ser considerado o primeiro a se preocupar em organizar regras para para as diversas formas de justificar a partir de fatos básicos, nossas conclusões.

É muito comum em meio a uma conversa , quando queremos sustentar uma opinião, afirmarmos: é lógico. Quando enumeramos razoes bem fundamentadas juntas a uma conclusão , chamamos a esse conjunto de ARGUMENTO. A lógica se preocupa com o que se pode ou não concluir a partir de certas informações.

Veja um exemplo de argumentação bem construída:
- André certamente fez curso superior, pois ele é médico e médicos são formados em faculdades de medicina.

Observe agora:

- É lógico que a terra é redonda, pois a laranja é redonda e a bola de futebol é redonda.
Há uma boa relação entre as razoes e a conclusão?
Nosso interesse irá se concentrar nas sentenças ou proposições (palavras que exprimem idéias) apenas com dois valores lógicos: verdadeiro ou falso .
ex: p: Ana tem olhos verdes .

A uma proposição podemos representar a sua negação: Ana não tem olhos verdes.
Podemos concluir que se uma proposição é verdadeira sua negação será falsa. Se uma proposição é falsa, sua negação será verdadeira .
Algumas palavras são usadas para formar uma proposição a partir de outras , são os CONECTIVOS. Os principais são: "e", "ou", "se... então", "se e somente se".
Vamos Tentar:

Alice, Beatriz, Célia e Dora apostaram uma corrida.
Alice disse: Célia ganhou, Beatriz chegou em segundo lugar.
Beatriz disse: Célia chegou em segundo lugar e Dora em terceiro.
Célia disse: Dora foi a última, Alice a segunda.

Cada uma das meninas disse uma verdade e uma mentira. Assim, podemos afirmar:

a) Célia chegou em último lugar e Dora em terceiro lugar.
b) Dora foi a primeira colocada e Alice a última colocada.
c) Beatriz chegou em primeiro lugar e Célia em segundo.
d) Célia foi a primeira colocada e Beatriz a última colocada.
e) Dora chegou em terceiro lugar e Alice em último.

DICA : estabeleça como hipótese: A frase verdadeira de Alice é: Célia ganhou.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

A tabela elaborada pelo prof. Mário Gustavo (Niterói- RJ) oferece alguns critérios de divisibilidade fáceis, porém sem regras decoradas (ótimo). O aluno pode verificar com facilidade, se um dado número é, ou não, divisível por um dado número primo (entre 7 e 100).

Concordo com professores de matemática quando afirmam que um critério de divisibilidade só é útil quando for mais simples que a própria divisão .

Vamos então conhecer a tabela:
NÚMEROS PRIMOS FORMA ADITIVA

7 (a + 5b)
11 (a + 10b)
13 (a + 4b)
17 (a + 12b)
19 (a + 2b)
23 (a + 7b)
29 (a + 3b)
31 (a + 90b)
37 9a + 26b)
41 (a + 37b)
43 (a + 13b)
47 (a + 80b)
53 (a + 16b)
59 ( a + 6b)
61 ( a + 55b)
67 (a + 47b)
71 ( a + 64b)
73 (a+ 22b)
79 ( a + 8b)
83 ( a + 25b)
89 (a + 9b)
97 (a + 68b)

Dado um número n, seja b seu algarismo das unidades e a o número formado pelos demais algarismos.

Por exemplo : 33684 é divisível por 7 ?
n = 33684 , b = 4 , a = 3368.
usando a forma aditiva : ( a + 5b )

3368 +20 = 3388,338 + 40 = 378,37 + 40 = 77,77 é múltiplo de 7, logo 33684 também é, assim como 378 e 3388.

Utilizando a tabela, 420945 é divisível por 19 ?
28574 é divisível por 13 ? 300763 é divisível por 67 ?

Você consegue?
4829006 é divisível por 13 ?

USANDO OS POLINÔMIOS

É muito comum o uso de letras para representar números ao escrever sentenças matemáticas. Quando não conhecemos o valor do número que estamos representando , a letra é chamada de incógnita. Quando o número representado pode assumir diferentes valores, a letra é chamada de variável.

Um monômio é uma expressão algébrica racional inteira representada pelo produto de números por variáveis. A adição algébrica de monômios não semelhantes, chamamos de polinômio. Uma série de fatos interessantes envolvem "truques" para cálculo mental rápido, que podem ser explicados usando uma representação de polinômios simples.

Por exemplo:

Se dois números de dois algarismos tem iguais os algarismos das dezenas, e se os algarismos das unidades somam 10 , pode-se calcular seu produto instantaneamente.
Veja, 77 x 73 =5621, multiplica-se o algarismo das dezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56. Acrescenta-se o produto dos algarismos das unidades, 7 x 3 =21.
Represente por a o algarismo das dezenas dos dois números considerados e por b o algarismo das unidades do primeiro número. Então o algarismo das unidades do segundo número será 10 - b.

Logo, 10a + b é o primeiro número e 10a + (10 - b), o segundo número. Seu produto é:
( 10a + b). (10a + 10 - b )= ... = 100a(a+ 1) +b(10 -b ).

Como anda o seu cálculo mental rápido?

Vamos resolver rapidamente : 52 x 58 , 67 x 63 , 81 x 89 , 34 x 36 , 41 x 49 , 2 7 x 23?

FERMAT E OS PRIMOS

Pierre de Fermat viveu em pleno Renascimento Francês , é considerado o maior matemático puro de todos os tempos. Sua obra máxima é a Teoria dos Números ( Aritmética ). É dele a definição de números primos: um número é primo quando tiver somente dois divisores: ele mesmo e a unidade.

Assim a sucessão dos números primos é , 1 , 3 , 5 , 7 , ... Será ilimitada? Fermat demonstrou que sim. Como também estabeleceu que : Se "n" é um número natural e "p" é primo, então a expressão np - p é divisível por "p". Este teorema é fundamental na resolução de equações. São mais de 300 as proposições criadas por Fermat.

Uma delas é conhecida como sucessão de Fermat , que é a seguinte :
3 , 5 , 17 , ... , 65537 , ......... , 4294967297, ... Esses números saõ obtidos assim:
3= 2 + 1
5= 2² +1
17= 2, dobrando o expoente, + 1.
Aí, segundo Euler (séc. dezoito), Fermat cometeu um erro quando disse que a referida sucessão só apresentava números primos. Euler demonstrou que 4294967297 é múltiplo de 641. Encontrar o 4º termo dessa seqüência é fácil.

Vamos tentar ?
Agora, determinar o 6ºtermo, nem tanto! você consegue?
BOA SORTE!

QUAL É O SEU NÚMERO AMIGO ?

Os matemáticos da Idade média diziam que 220 e 284 são números amigos pois cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro.Determinando todos os divisores de 220 (lembram do método prático) encontramos: 1 , 2 , 4 , 5 , 10 ,20 , 11 , 22 , 44 , 55 ,110 , 220. Do mesmo modo para 284, temos : 1 , 2, 4 , 71 , 142 , 284 .

A soma dos divisores de 220, sem levar em conta o próprio 220 , é : 1+2 + 4 +5 +10 +20 +11 +22 +44 +55 +110 = 284 e a soma dos divisores de 284, excetuando o próprio 284, é : 1 +2 +4 +71 +142 = 220.

Em 1747, Leonard Euler (1707- 1783) obteve 30 pares de números amigos, como por exemplo (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (176272, 180848).

No ano de 1866, um jovem italiano de 16 anos, chamado Nicolò Paganini, descobriu um par que havia escapado a Euler. Dentre os três pares de números (1384, 1510), (17296, 5020), (1184, 1210) está o par encontrado por Paganini. Os outros não são verdadeiramente amigos.

VOCÊ CONSEGUE ENCONTRAR (FAZENDO OS CÁLCULOS NECESSÁRIOS) O PAR DE NÚMEROS AMIGOS ?

MULTIPLICANDO USANDO FIBONACCI

Os números de Fibonacci tem sua origem no problema da reprodução de coelhos, descrito no Liber Abaci, escrito por Leonardo de Pisa, o Fibonacci, em 1202. Eles são os termos da famosa seqüência de números inteiros positivos, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
No artigo da prof. Márcia Cerioli(UFRJ) para a revista da SBM (SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA), usando o teorema de Zeckendorf ela mostra que todo número inteiro positivo tem uma representação em números de Fibonacci.

Por exemplo, o número 18 pode ser obtido pela soma 5 + 13 , números de Fibonacci distintos e não consecutivos. A decomposição de números como soma de números de Fibonacci pode ser usada em um método que permite multiplicar dois números inteiros usando adições.

Vamos multiplicar 16 por 63. A idéia é construir uma tabela onde a primeira coluna é formada por 1 e um dos números, 16. A segunda coluna é obtida da primeira dobrando-se os números e ,a partir daí, toda coluna da tabela é obtida pela soma das duas anteriores.

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
16 32 48 80 128 208 336 544 880

A seguir considera-se uma decomposição de 63 em números de Fibonacci. Temos 55 + 8.
Para obter o produto 16 x 63 basta tomar os números correspondentes a 8 e 55 na tabela. Assim , temos 16 x 63 = 128 + 880 = 1008.
Vamos brincar com essa decomposição de inteiros?
Aplique o método nas multiplicações:

a) 32 x 15
b) 47 x 18
c) 29 x 21
d) 51 x 37

AS CALCULADORAS DE PAPEL

Os nomogramas constituem ainda instrumentos interessantes que nos permitem efetuar a adição de dois números, por meio do traçado de retas.

Tome três eixos A, B ,C , paralelos, equidistantes e perpendiculares a uma reta r dada. Seja d a distância entre elas. Graduamos os eixos com uma unidade e marcamos 0 nos três eixos numa mesma horizontal. Nos eixos A e C , marcamos o número n ou -n a n unidades da origem. No eixo B , marcamos 2n ou -2n a n unidades da origem.

Para determinar a soma de dois números a e c, marcamos a no eixo A e C no eixo C.
A soma a + c será determinada pela intersecção da reta que une os pontos a e c com o eixo B.

Embora superados, em termos práticos, pelos computadores, os nomogramas trazem praticidade nas somas no conjunto dos números inteiros.

EM QUE DIA DA SEMANA VOCÊ NASCEU ?

Se o ano tivesse exatamente 364 dias, que é divisível por 7, teríamos sempre os mesmos dias do mês nos mesmos dias da semana. Um ano tem aproximadamente 365,25 dias , onde a cada 4 anos é necessário fazer uma correção, através de um ano bissexto de 366 dias (de acordo com o calendário promulgado pelo papa Gregório xiii, em 1582)
Essa regra prática permite determinar o dia da semana de qualquer data entre 01/01/1800 e 31/12/2100.

Usaremos uma tabela em que a cada mês corresponde um número. Para os anos bissextos serão usados os números entre parênteses: JAN. 1 ( 0), FEV. 4 ( 3), MAR. 4, ABR. 0, MAIO 2, JUN. 5, JUL. O, AGO. 3, SET. 6, OUT. 1, NOV. 4, DEZ. 6.

Uma outra tabela associará os dias da semana com os números inteiros de 0 a 6.
resto/dia.

1 dom.
2 segunda
3 terça
4 quarta
5 quinta
6 sexta
0 sáb.

EXEMPLO:
18 de outubro de 1956

vamos determinar a soma A + B + C +D, onde:
A é o número formado pelos dois últimos algarismos do ano dado : 56
B é a parte inteira do quociente da divisão de A por 4 : 14 ( quociente de 56 por 4)
C é o dia do mês dado:18
D é o número da primeira tabela correspondente ao mês dado.

Em seguida dividimos A + B + C + D por 7, achando um resto inteiro entre 0 e 6. A segunda tabela mostra como associar o resto com o dia da semana.
No exemplo temos 56 + 14 + 18 + 1 = 89, como 89 /7 =12, com resto 5 , logo, a data foi uma QUINTA-FEIRA.

Nessa atividade sugerida pelo professor Paulo Sérgio Argolo, pode-se introduzir datas importantes, surgindo uma grande riqueza de possibilidades, sendo que o conteúdo tratado é divisão de números inteiros e restos destas divisões.

EM QUE DIA DA SEMANA CAIU 7 DE SETEMBRO DE 1822? E AÍ.. VAMOS TENTAR ?

AS DÍZIMAS PERIÓDICAS

Quando uma divisão de números inteiros nunca termina, e a parte depois da virgula se repete sem fim , chamamos o quociente de dízima periódica.
Uma maneira prática de se encontrar a divisão (fração) que originou essa dízima é a seguinte :vamos calcular a fração que gerou o número 0,666... ,x= 0,666...

- Inicialmente chamamos a fração de X. Como o período ( parte que se repete ) é 6 , ele tem somente um algarismo , multiplicamos os dois lados da igualdade por 10 , ficando 10x= 6,666...
(se o período tivesse dois algarismos iríamos multiplicar por 100, e assim por diante)
Eliminando a parte infinita através da subtração entre as igualdades , ficamos com (10x-x)=6-0,encontrando então 9x =6,que nos dá x= 6/9 ,A palavra gerar significa dar origem.
Vimos que a fração 6/9 deu origem á dízima periódica o,666... . Então , 6/9 é a fração geratriz dessa dízima.

O HOMEM QUE CALCULAVA

A exóticas histórias de califas, sheiks e beduínos contadas por Malba Tahan, continuam encantando gerações e gerações. Malba Tahan, ou melhor, Ali Iezedi Izz-Edmi Ibn Salim Hank Malba Tahan, durante as suas peregrinações, dedicava-se a escrever suas memórias, perdendo a vida lutando pela liberdade de uma pequena aldeia na África.
Seus admiradores ficaram surpresos quando descobriram que o personagem- escritor Malba Taran era, na verdade, o professor carioca Júlio César de Mello e Souza, nascido no Rio de Janeiro .
Sobre o homem que calculava , premiado pela Academia Brasileira de Letras, e que conta com dezenas de edições e com traduções para vários idiomas escreveu Monteiro Lobato:"O homem que calculava já me encantou duas vezes e ocupa lugar de honra entre os livros que conservo.Só Malba Tahan faria uma obra assim , encarnação que ele é da sabedoria oriental; Obra que ficará a salvo das vassouradas do tempo como a melhor expressão do binômio ciencia - imaginação ".

Nessa época, Mello e souza, um dos mais ilustres professores de matemática do país ,desenvolvia as suas aulas através de jogos, problemas curiosos, desafios e contos, tendo publicado vários e saborosos livros de matemática.
A lado da notícia do seu falecimento em 1974, na cidade de Recife , devido a um ataque cardíaco quando se preparava para uma palestra,os jornais publicaram também uma nota redigida por ele mesmo , anos antes: "Malba Tahan morreu e pede a todos perdão pelas faltas, erros, ingratidões e injustiças. Pede também, que rezem por ele".

UM NÚMERO FAMOSO

O cálculo do comprimento de uma circunferência já foi responsável pela dor de cabeça de muitos matemáticos.Mas a busca dessa solução fez aparecer o mais famoso número da história da matemática.
Descobriram que o quociente entre as medidas do comprimento e do diâmetro de uma circunferência resultava um mesmo número, nâo importando o tamanho da circunferência. Esse número foi denominado por uma letra do alfabeto grego PI.
O número PI é conhecido há mais de 4000 anos.No Egito antigo arquitetos e matemáticos já escreviam 3,16 como aproximaçâo para PI.
No século dezoito , os matemáticos haviam provado que o número PI não podia ser escrito na forma de fração.Até hoje , buscam ´quebrar recordes´, descobrindo mais casas decimais do PI.Já se conhecem 51 bilhões de casas decimais.

O importante é saber que existe um conjunto de números que não obedecem as regras dos números racionais e que, por esse motivo, são chamados de NÚMEROS IRRACIONAIS.
Se unirmos o conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais teremos o conjunto chamado CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.

STOMACHION E TEOREMA DE PICK

O Matemático grego Arquimedes é famoso por seus trabalhos e descobertas na geometria. Através de pesquisas recentes ,chegamos a informaçao de que Arquimedes foi também pioneiro em análise combinatória. O STOMACHION é um quadrado dividido em 14 partes irregulares.O objetivo desse quebra-cabeça é embaralhar as peças e depois juntá-las novamente para formar um quadrado.

De quantas maneiras as peças podem ser arranjadas para formar o quadrado?
Hoje, essa é um questao para os especialistas em análise combinatória responderem.Depois de algumas semanas , matemáticos atuais com a ajuda de computadores, concluíram que a resposta é 17152.

¨A área de uma figura cujos vértices são vértices de uma quadrícula regular é igual ao número de vértices da quadrícula que se encontram no interior da figura mais metade do número de vértices que se encontram sobre a linha limite da figura a que se retira uma unidade¨
Este teorema foi descoberto pela primeira vez pelo matemático Georg Alexander Pick em 1899; Pick nasceu em viena- Austria em 1859 e morreu durante a segunda guerra em 1943 no campo de concentraçao de theresienstadt.O teorema de pick só é válido para figuras simples, isto é ,para figuras em que os lados não se intersectem , a não ser , eventualmente nos vértices.

Usando este teorema é fácil provar que no STOMACHION há 2 peças de área 3 ,4 peças de área 6, 1 peça de área 9, 5 peças de área 12, 1 peça de área 21 e uma peça de área 24.
Vários problemas interessantes se podem associar às peças do STOMACHION, além de procurar outras figuras sugestivas que se possam formar com as suas peças.

Uma Interpretaçao Geométrica do MMC

Naõ há excessaõ ,nossos livros didáticos de matemática, sempre trazem o cálculo do MMC (mínimo multíplo comum) através da decomposiçao em fatores primos. Após a leitura do artigo dos professores Mario Lucío e Otanio Alves(analistas da secretaria do Estado de Minas Gerais), trazemos uma possibilidade bem interessante para esse cálculo.

O método é o seguinte:

1) Tomemos um retânguloABCD de lados m e n . O retângulo deverá estar subdividido em quadrados unitários.

2)Partindo de um dos vértices do retângulo, traçamos as diagonais dos quadrados unitários observando a seguinte ordem:a) traçamos a diagonal do quadrado que tem o vértice coincidente com o vértice escolhido do retângulo. b) traçamos, a partir do vértice no qual paramos , as diagonais dos quadrados que tem um ângulo oposto pelo vértice com o quadrado anterior ou, na ausencia desse quadrado , traçamos a diagonal do quadrado ao lado e a partir do vértice onde paramos. c)As diagonais dos quadrados unitarios devem ser traçadas até que se cheque a um dos outros vértices do retânguloABCD. d)Contamos quantos quadrados tiveram suas diagonais traçadas. O número encontrado é o MMC de m e n.

O método se baseia nos fatos: ao partimos de um vértice do retângulo e chegarmos a um outro vértice desse mesmo retângulo , traçamos diagonais de um número de quadrados que corresponde a um múltiplo tanto de m quanto de no parando no primeiro outro vértice do retângulo ABCD, estamos determinando o mínimo dentre os múltiplos comuns de M e N.

CADA UM NO SEU QUADRADO

Ultimamente a letra de sucesso carioca , lembrava aos jovens o espaço destinado a cada um deles. Mas que figura é essa? O quadrado é uma figura geométrica plana que entre as suas principais características está a igualdade entre as medidas de seus quatro lados. Os ãngulos internos saõ todos retos , medindo cada um 90 graus.

Os lados saõ paralelos dois a dois. As formas geométricas saõ muito utilizadas para distinguir áreas ou regioes que se quer enfatizar.Para calcular o seu perímetro, isto é, contorno, somamos as medidas de seus lados e o espaço ocupado , elevamos a medida do lado ao quadrado.
Uma propriedade interessante é em relaçaõ as diagonais , que saõ segmentos que unem vértices opostos nesse quadrado. As diagonais de um quadrado saõ congruentes, coincidem com as bissetrizes dos ãngulos internos, saõ perpendiculares entre si e se cruzam no ponto médio.

O qudrado possui quatro ângulos retos, logo, o quadrado é um retângulo.' todo quadrado é retângulo, mas nem todo retãngulo é qudrado'.
E aí , tá conhecendo um pouco mais sobre o seu quadrado?