FERMAT E OS PRIMOS

Pierre de Fermat viveu em pleno Renascimento Francês , é considerado o maior matemático puro de todos os tempos. Sua obra máxima é a Teoria dos Números ( Aritmética ). É dele a definição de números primos: um número é primo quando tiver somente dois divisores: ele mesmo e a unidade.

Assim a sucessão dos números primos é , 1 , 3 , 5 , 7 , ... Será ilimitada? Fermat demonstrou que sim. Como também estabeleceu que : Se "n" é um número natural e "p" é primo, então a expressão np - p é divisível por "p". Este teorema é fundamental na resolução de equações. São mais de 300 as proposições criadas por Fermat.

Uma delas é conhecida como sucessão de Fermat , que é a seguinte :
3 , 5 , 17 , ... , 65537 , ......... , 4294967297, ... Esses números saõ obtidos assim:
3= 2 + 1
5= 2² +1
17= 2, dobrando o expoente, + 1.
Aí, segundo Euler (séc. dezoito), Fermat cometeu um erro quando disse que a referida sucessão só apresentava números primos. Euler demonstrou que 4294967297 é múltiplo de 641. Encontrar o 4º termo dessa seqüência é fácil.

Vamos tentar ?
Agora, determinar o 6ºtermo, nem tanto! você consegue?
BOA SORTE!

QUAL É O SEU NÚMERO AMIGO ?

Os matemáticos da Idade média diziam que 220 e 284 são números amigos pois cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro.Determinando todos os divisores de 220 (lembram do método prático) encontramos: 1 , 2 , 4 , 5 , 10 ,20 , 11 , 22 , 44 , 55 ,110 , 220. Do mesmo modo para 284, temos : 1 , 2, 4 , 71 , 142 , 284 .

A soma dos divisores de 220, sem levar em conta o próprio 220 , é : 1+2 + 4 +5 +10 +20 +11 +22 +44 +55 +110 = 284 e a soma dos divisores de 284, excetuando o próprio 284, é : 1 +2 +4 +71 +142 = 220.

Em 1747, Leonard Euler (1707- 1783) obteve 30 pares de números amigos, como por exemplo (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (176272, 180848).

No ano de 1866, um jovem italiano de 16 anos, chamado Nicolò Paganini, descobriu um par que havia escapado a Euler. Dentre os três pares de números (1384, 1510), (17296, 5020), (1184, 1210) está o par encontrado por Paganini. Os outros não são verdadeiramente amigos.

VOCÊ CONSEGUE ENCONTRAR (FAZENDO OS CÁLCULOS NECESSÁRIOS) O PAR DE NÚMEROS AMIGOS ?

MULTIPLICANDO USANDO FIBONACCI

Os números de Fibonacci tem sua origem no problema da reprodução de coelhos, descrito no Liber Abaci, escrito por Leonardo de Pisa, o Fibonacci, em 1202. Eles são os termos da famosa seqüência de números inteiros positivos, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
No artigo da prof. Márcia Cerioli(UFRJ) para a revista da SBM (SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA), usando o teorema de Zeckendorf ela mostra que todo número inteiro positivo tem uma representação em números de Fibonacci.

Por exemplo, o número 18 pode ser obtido pela soma 5 + 13 , números de Fibonacci distintos e não consecutivos. A decomposição de números como soma de números de Fibonacci pode ser usada em um método que permite multiplicar dois números inteiros usando adições.

Vamos multiplicar 16 por 63. A idéia é construir uma tabela onde a primeira coluna é formada por 1 e um dos números, 16. A segunda coluna é obtida da primeira dobrando-se os números e ,a partir daí, toda coluna da tabela é obtida pela soma das duas anteriores.

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
16 32 48 80 128 208 336 544 880

A seguir considera-se uma decomposição de 63 em números de Fibonacci. Temos 55 + 8.
Para obter o produto 16 x 63 basta tomar os números correspondentes a 8 e 55 na tabela. Assim , temos 16 x 63 = 128 + 880 = 1008.
Vamos brincar com essa decomposição de inteiros?
Aplique o método nas multiplicações:

a) 32 x 15
b) 47 x 18
c) 29 x 21
d) 51 x 37

AS CALCULADORAS DE PAPEL

Os nomogramas constituem ainda instrumentos interessantes que nos permitem efetuar a adição de dois números, por meio do traçado de retas.

Tome três eixos A, B ,C , paralelos, equidistantes e perpendiculares a uma reta r dada. Seja d a distância entre elas. Graduamos os eixos com uma unidade e marcamos 0 nos três eixos numa mesma horizontal. Nos eixos A e C , marcamos o número n ou -n a n unidades da origem. No eixo B , marcamos 2n ou -2n a n unidades da origem.

Para determinar a soma de dois números a e c, marcamos a no eixo A e C no eixo C.
A soma a + c será determinada pela intersecção da reta que une os pontos a e c com o eixo B.

Embora superados, em termos práticos, pelos computadores, os nomogramas trazem praticidade nas somas no conjunto dos números inteiros.

EM QUE DIA DA SEMANA VOCÊ NASCEU ?

Se o ano tivesse exatamente 364 dias, que é divisível por 7, teríamos sempre os mesmos dias do mês nos mesmos dias da semana. Um ano tem aproximadamente 365,25 dias , onde a cada 4 anos é necessário fazer uma correção, através de um ano bissexto de 366 dias (de acordo com o calendário promulgado pelo papa Gregório xiii, em 1582)
Essa regra prática permite determinar o dia da semana de qualquer data entre 01/01/1800 e 31/12/2100.

Usaremos uma tabela em que a cada mês corresponde um número. Para os anos bissextos serão usados os números entre parênteses: JAN. 1 ( 0), FEV. 4 ( 3), MAR. 4, ABR. 0, MAIO 2, JUN. 5, JUL. O, AGO. 3, SET. 6, OUT. 1, NOV. 4, DEZ. 6.

Uma outra tabela associará os dias da semana com os números inteiros de 0 a 6.
resto/dia.

1 dom.
2 segunda
3 terça
4 quarta
5 quinta
6 sexta
0 sáb.

EXEMPLO:
18 de outubro de 1956

vamos determinar a soma A + B + C +D, onde:
A é o número formado pelos dois últimos algarismos do ano dado : 56
B é a parte inteira do quociente da divisão de A por 4 : 14 ( quociente de 56 por 4)
C é o dia do mês dado:18
D é o número da primeira tabela correspondente ao mês dado.

Em seguida dividimos A + B + C + D por 7, achando um resto inteiro entre 0 e 6. A segunda tabela mostra como associar o resto com o dia da semana.
No exemplo temos 56 + 14 + 18 + 1 = 89, como 89 /7 =12, com resto 5 , logo, a data foi uma QUINTA-FEIRA.

Nessa atividade sugerida pelo professor Paulo Sérgio Argolo, pode-se introduzir datas importantes, surgindo uma grande riqueza de possibilidades, sendo que o conteúdo tratado é divisão de números inteiros e restos destas divisões.

EM QUE DIA DA SEMANA CAIU 7 DE SETEMBRO DE 1822? E AÍ.. VAMOS TENTAR ?