Os Poliedros de Platão

Platão foi um filósofo grego (427 a.C. - 347 a.C.). Entusiasta da matemática, para ele, a ciência dos números era a chave da compreensão do universo.

Platão estudou algumas propriedades interessantes dos poliedros. Você se lembra do que é um poliedro? São objetos com muitas faces planas. São polígonos que tem todos os lados de mesmo comprimento e todos os ângulos internos de mesma medida, por isso chamados regulares. Apesar de existir infinitos tipos de polígonos regulares, há apenas cinco tipos de poliedros regulares que podem ser construídos, e que Platão já destacava a beleza da forma desses sólidos, os chamados: Poliedros de Platão. São eles:

tetraedro regular (4 faces triangulares);
hexaedro regular ou cubo (6 faces quadradas);
octaedro regular (8 faces triangulares);
dodecaedro regular (12 faces pentagonais);
icosaedro regular (20 faces triangulares).

Um poliedro tem faces que são polígonos, vértices que são os pontos onde várias faces se encontram formando um bico, e arestas, são os lados dos polígonos que formam as faces.
Segundo Platão, a matemática é um saber que faz voar o pensamento para os objetos mais sublimes, estimulando a agudeza de espírito.

Agora, quantas arestas tem cada um dos poliedros de Platão? É muito simples, basta observar que as arestas são os lados dos polígonos das faces e que cada aresta surge quando juntamos dois polígonos, sendo que dois lados vão formar uma aresta.

E aí, ficou mais fácil??

O TRINÔMIO DE EULER

Leonard Euler nasceu na Basiléia, no dia 15 de abril de 1707 e morreu em São Petersburgo, no dia 18 de setembro de 1783. Desde os primeiros passos na Universidade, já era visto como um predestinado, consagrado criador dentro da matemática. Foi compondo milhares de obras, principalmente introduzindo o cálculo infinitesimal, que Euler se projetou como o matemático mais produtivo da humanidade. No clássico " Budget of Paradoxo " (Morgan), é contado o seguinte episódio: Catarina, a grande (Euler serviu na Universidade de Moscou, no País dos czares) convidou Diderot, filósofo Frances e conhecido ateu, para ouvir a demonstração algébrica que um doutor matemático ia fazer na corte, a respeito da existência de Deus. Euler, tal como a Rainha, tinha fé num criador. Em tom teatral e visando o sábio francês, Euler escreve na lousa a equação: x = a + b (elevado a n) /n e concluiu enfaticamente: portanto, Deus existe, conteste. Diderot mesmo sendo leigo em matemática compreende a peça do expositor, sente-se humilhado, principalmente porque todos riam dele, incluindo a Rainha, pede licença para se retirar.

No polinômio P(x) = x² + x + 41, chamado TRINÔMIO DE EULER , se encontrarmos o valor numérico desse polinômio, para x= -40, -39, ..., 39, encontraremos certamente números primos. Entretanto, para x= 40 e x= 41, os valores numéricos naõ saõ primos. E para x= 42 ? Naõ se sabe se o trinômio de Euler produz um número infinito de primos para valores inteiros de x.

- Qual o valor numérico do polinômio x²+x+41, para x=42 ? E para x= -38. Esses valores numéricos são primos ?

Agora com certeza, o trinômio de Euler é um verdadeiro campeão de números primos.

É LÓGICO ?

Estamos iniciando alguns textos sobre raciocínio lógico. Matéria ampla, muito requisitada ultimamente, na maioria dos concursos públicos. Essas noções elementares tem por base o princípio que para gostar de alguma coisa, é preciso conhecê-la. Então, vamos lá!
Na Grécia antiga, há mais de dois mil anos, Aristóteles, pode ser considerado o primeiro a se preocupar em organizar regras para para as diversas formas de justificar a partir de fatos básicos, nossas conclusões.

É muito comum em meio a uma conversa , quando queremos sustentar uma opinião, afirmarmos: é lógico. Quando enumeramos razoes bem fundamentadas juntas a uma conclusão , chamamos a esse conjunto de ARGUMENTO. A lógica se preocupa com o que se pode ou não concluir a partir de certas informações.

Veja um exemplo de argumentação bem construída:
- André certamente fez curso superior, pois ele é médico e médicos são formados em faculdades de medicina.

Observe agora:

- É lógico que a terra é redonda, pois a laranja é redonda e a bola de futebol é redonda.
Há uma boa relação entre as razoes e a conclusão?
Nosso interesse irá se concentrar nas sentenças ou proposições (palavras que exprimem idéias) apenas com dois valores lógicos: verdadeiro ou falso .
ex: p: Ana tem olhos verdes .

A uma proposição podemos representar a sua negação: Ana não tem olhos verdes.
Podemos concluir que se uma proposição é verdadeira sua negação será falsa. Se uma proposição é falsa, sua negação será verdadeira .
Algumas palavras são usadas para formar uma proposição a partir de outras , são os CONECTIVOS. Os principais são: "e", "ou", "se... então", "se e somente se".
Vamos Tentar:

Alice, Beatriz, Célia e Dora apostaram uma corrida.
Alice disse: Célia ganhou, Beatriz chegou em segundo lugar.
Beatriz disse: Célia chegou em segundo lugar e Dora em terceiro.
Célia disse: Dora foi a última, Alice a segunda.

Cada uma das meninas disse uma verdade e uma mentira. Assim, podemos afirmar:

a) Célia chegou em último lugar e Dora em terceiro lugar.
b) Dora foi a primeira colocada e Alice a última colocada.
c) Beatriz chegou em primeiro lugar e Célia em segundo.
d) Célia foi a primeira colocada e Beatriz a última colocada.
e) Dora chegou em terceiro lugar e Alice em último.

DICA : estabeleça como hipótese: A frase verdadeira de Alice é: Célia ganhou.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

A tabela elaborada pelo prof. Mário Gustavo (Niterói- RJ) oferece alguns critérios de divisibilidade fáceis, porém sem regras decoradas (ótimo). O aluno pode verificar com facilidade, se um dado número é, ou não, divisível por um dado número primo (entre 7 e 100).

Concordo com professores de matemática quando afirmam que um critério de divisibilidade só é útil quando for mais simples que a própria divisão .

Vamos então conhecer a tabela:
NÚMEROS PRIMOS FORMA ADITIVA

7 (a + 5b)
11 (a + 10b)
13 (a + 4b)
17 (a + 12b)
19 (a + 2b)
23 (a + 7b)
29 (a + 3b)
31 (a + 90b)
37 9a + 26b)
41 (a + 37b)
43 (a + 13b)
47 (a + 80b)
53 (a + 16b)
59 ( a + 6b)
61 ( a + 55b)
67 (a + 47b)
71 ( a + 64b)
73 (a+ 22b)
79 ( a + 8b)
83 ( a + 25b)
89 (a + 9b)
97 (a + 68b)

Dado um número n, seja b seu algarismo das unidades e a o número formado pelos demais algarismos.

Por exemplo : 33684 é divisível por 7 ?
n = 33684 , b = 4 , a = 3368.
usando a forma aditiva : ( a + 5b )

3368 +20 = 3388,338 + 40 = 378,37 + 40 = 77,77 é múltiplo de 7, logo 33684 também é, assim como 378 e 3388.

Utilizando a tabela, 420945 é divisível por 19 ?
28574 é divisível por 13 ? 300763 é divisível por 67 ?

Você consegue?
4829006 é divisível por 13 ?

USANDO OS POLINÔMIOS

É muito comum o uso de letras para representar números ao escrever sentenças matemáticas. Quando não conhecemos o valor do número que estamos representando , a letra é chamada de incógnita. Quando o número representado pode assumir diferentes valores, a letra é chamada de variável.

Um monômio é uma expressão algébrica racional inteira representada pelo produto de números por variáveis. A adição algébrica de monômios não semelhantes, chamamos de polinômio. Uma série de fatos interessantes envolvem "truques" para cálculo mental rápido, que podem ser explicados usando uma representação de polinômios simples.

Por exemplo:

Se dois números de dois algarismos tem iguais os algarismos das dezenas, e se os algarismos das unidades somam 10 , pode-se calcular seu produto instantaneamente.
Veja, 77 x 73 =5621, multiplica-se o algarismo das dezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56. Acrescenta-se o produto dos algarismos das unidades, 7 x 3 =21.
Represente por a o algarismo das dezenas dos dois números considerados e por b o algarismo das unidades do primeiro número. Então o algarismo das unidades do segundo número será 10 - b.

Logo, 10a + b é o primeiro número e 10a + (10 - b), o segundo número. Seu produto é:
( 10a + b). (10a + 10 - b )= ... = 100a(a+ 1) +b(10 -b ).

Como anda o seu cálculo mental rápido?

Vamos resolver rapidamente : 52 x 58 , 67 x 63 , 81 x 89 , 34 x 36 , 41 x 49 , 2 7 x 23?

FERMAT E OS PRIMOS

Pierre de Fermat viveu em pleno Renascimento Francês , é considerado o maior matemático puro de todos os tempos. Sua obra máxima é a Teoria dos Números ( Aritmética ). É dele a definição de números primos: um número é primo quando tiver somente dois divisores: ele mesmo e a unidade.

Assim a sucessão dos números primos é , 1 , 3 , 5 , 7 , ... Será ilimitada? Fermat demonstrou que sim. Como também estabeleceu que : Se "n" é um número natural e "p" é primo, então a expressão np - p é divisível por "p". Este teorema é fundamental na resolução de equações. São mais de 300 as proposições criadas por Fermat.

Uma delas é conhecida como sucessão de Fermat , que é a seguinte :
3 , 5 , 17 , ... , 65537 , ......... , 4294967297, ... Esses números saõ obtidos assim:
3= 2 + 1
5= 2² +1
17= 2, dobrando o expoente, + 1.
Aí, segundo Euler (séc. dezoito), Fermat cometeu um erro quando disse que a referida sucessão só apresentava números primos. Euler demonstrou que 4294967297 é múltiplo de 641. Encontrar o 4º termo dessa seqüência é fácil.

Vamos tentar ?
Agora, determinar o 6ºtermo, nem tanto! você consegue?
BOA SORTE!

QUAL É O SEU NÚMERO AMIGO ?

Os matemáticos da Idade média diziam que 220 e 284 são números amigos pois cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro.Determinando todos os divisores de 220 (lembram do método prático) encontramos: 1 , 2 , 4 , 5 , 10 ,20 , 11 , 22 , 44 , 55 ,110 , 220. Do mesmo modo para 284, temos : 1 , 2, 4 , 71 , 142 , 284 .

A soma dos divisores de 220, sem levar em conta o próprio 220 , é : 1+2 + 4 +5 +10 +20 +11 +22 +44 +55 +110 = 284 e a soma dos divisores de 284, excetuando o próprio 284, é : 1 +2 +4 +71 +142 = 220.

Em 1747, Leonard Euler (1707- 1783) obteve 30 pares de números amigos, como por exemplo (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (176272, 180848).

No ano de 1866, um jovem italiano de 16 anos, chamado Nicolò Paganini, descobriu um par que havia escapado a Euler. Dentre os três pares de números (1384, 1510), (17296, 5020), (1184, 1210) está o par encontrado por Paganini. Os outros não são verdadeiramente amigos.

VOCÊ CONSEGUE ENCONTRAR (FAZENDO OS CÁLCULOS NECESSÁRIOS) O PAR DE NÚMEROS AMIGOS ?