1) Na sequência de FIBONACCI (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...), cada termo é igual a soma dos dois termos anteriores. Assim: F17 + F18 = Fn, o valor de n é 19.
a) (F5)² - (F5)² = 25-4 = 21
(F6)² - (F4)4 = 64 - 9 = 55
(F7)² - (F5)² = 169 - 25 = 144
b) 21, 55, 144 são números da sequência de Fibonacci ocupando respectivamente as posições F8 , F10 e F12.
2) Para formar o "esqueleto":
Poliedro (1) - 6 Quadrados
Poliedro (2) - 1 Quadrado e 4 Triângulos
Poliedro (3) - 2 Hexágonos e 6 Retângulos
Poliedro (4) - 1 Hexágono e 6 Triângulos
3) Sendo o perímetro do quadrado de lado (a) igual a 64 cm, então (a) = 16. O perímetro do hexágono regular de lado (b) igual a 78 cm, então (b) = 13 cm. Logo a + b = 29.
4) A solução da equeção 3x-1/2x = 2/5 é: x=5/11, que é um número compreendido entre 0 e 1 (Letra A)
5) Os 3 comandos para o robô tartaruga andar no corredor dado no desenho é: - Avançar 4, virar 90º à direita, avançar 3, virar 90º à direita, avançar 2. (Letra A)
6) a) Como as retas são paralelas,
b = 125º (o.p.v.)
a = 55º ( 125º + 55º = 180º)
c = 55º
e = 125º ............i = 40º
g = 125º ............h = 140º
d = 55º ..............j = 130º
f = 55º
b) 200º - 4x e 4x - 80º são opostos pelo vértice; 200 - 4x = 4x + 80, Sendo x= 15, os ângulos valem 140º e os outros dois ângulos 40º.
7) a) Chamando de x = pacotinhos de areia amarela, y = pacotinhos de areia verde
3x + 2y = 8,4
y = 2x ,
x=12
y = 2,4
b) Chamando de x = carros e y = motos
x + y = 18 4
x = 2y = 60 ,
x=12
y = 6
8) a) 320/x
b) 300/x-2
c) 320/x = 300/x - 2, resolvendo a equação, x = 32.
Então 7º A tem 32 alunos e o 7º B tem 30 alunos.
9) Se o mordomo não é inocente, logo ele é culpado. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é inocente. Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada, assim a resposta correta é a letra E (o cozinheiro e o mordomo são os culpados).
10) a) Na figura o triângulo vale 6, o quadrado vale 5. Como a soma de todas as figuras é 39, então cada círculo vale 2. Letra E
b) Na peça de teatro: Ana é bruxa e Carla é fada. Letra A
segunda-feira, 21 de setembro de 2009
domingo, 13 de setembro de 2009
Equações de 1° Grau
Ao formarmos sentenças na matemática, não escrevemos palavras, empregamos uma linguagem própria com algarismos e símbolos.Duas sentenças ligadas com o sinal de igual (=), onde usamos letras representando os valores desconhecidos, as incógnitas, chamamos de equação.
Conjunto Universo - É o conjunto formado por todos os elementos pelos quais as incógnitas de uma equação podem ser substituídas.
Raízes - São os elementos do conjunto universo que tornam a igualdade verdadeira.
Conjunto Verdade - É o conjunto cujos elementos são as raízes de uma equação.
Observações Importantes: Em uma equação, podemos adicionarou subtrair o mesmo número nos dois membros que a igualdade não se altera. O mesmo acontece quando multiplicamos ou dividimos os dois membros pelo mesmo número.
Para resolvermos uma equação de 1° grau, precisamos isolar o termo que possui a incógnita em um dos membros. Assim estamos usando os princípios aditivo e multiplicativo.
A resolução de equações estimula o raciocínio e ajuda a encontrar soluções para problemas complexos.
Vamos tentar resolver essas duas situações:
O irmão mais velho de Lígia tem 18 anos, e sua mãe, 40 anos. Há quantos anos a soma das idades dos dois era 50 anos ?
Pedro tem uma caixa com bolas verdes, amarelas e brancas. O número de bolas brancas é o triplo do número de bolas verdes. Pedro retira seis bolas brancas dessa caixa e coloca mais 20 bolas verdes e observa que, assim, ficaram quantidades iguais de bolas verdes, amarelas e brancas. Qual era a quantidade inicial de bolas na caixa, considerando as três cores ?
Conjunto Universo - É o conjunto formado por todos os elementos pelos quais as incógnitas de uma equação podem ser substituídas.
Raízes - São os elementos do conjunto universo que tornam a igualdade verdadeira.
Conjunto Verdade - É o conjunto cujos elementos são as raízes de uma equação.
Observações Importantes: Em uma equação, podemos adicionarou subtrair o mesmo número nos dois membros que a igualdade não se altera. O mesmo acontece quando multiplicamos ou dividimos os dois membros pelo mesmo número.
Para resolvermos uma equação de 1° grau, precisamos isolar o termo que possui a incógnita em um dos membros. Assim estamos usando os princípios aditivo e multiplicativo.
A resolução de equações estimula o raciocínio e ajuda a encontrar soluções para problemas complexos.
Vamos tentar resolver essas duas situações:
O irmão mais velho de Lígia tem 18 anos, e sua mãe, 40 anos. Há quantos anos a soma das idades dos dois era 50 anos ?
domingo, 12 de julho de 2009
Os Poliedros de Platão
Platão foi um filósofo grego (427 a.C. - 347 a.C.). Entusiasta da matemática, para ele, a ciência dos números era a chave da compreensão do universo.
Platão estudou algumas propriedades interessantes dos poliedros. Você se lembra do que é um poliedro? São objetos com muitas faces planas. São polígonos que tem todos os lados de mesmo comprimento e todos os ângulos internos de mesma medida, por isso chamados regulares. Apesar de existir infinitos tipos de polígonos regulares, há apenas cinco tipos de poliedros regulares que podem ser construídos, e que Platão já destacava a beleza da forma desses sólidos, os chamados: Poliedros de Platão. São eles:
tetraedro regular (4 faces triangulares);
hexaedro regular ou cubo (6 faces quadradas);
octaedro regular (8 faces triangulares);
dodecaedro regular (12 faces pentagonais);
icosaedro regular (20 faces triangulares).
Um poliedro tem faces que são polígonos, vértices que são os pontos onde várias faces se encontram formando um bico, e arestas, são os lados dos polígonos que formam as faces.
Segundo Platão, a matemática é um saber que faz voar o pensamento para os objetos mais sublimes, estimulando a agudeza de espírito.
Agora, quantas arestas tem cada um dos poliedros de Platão? É muito simples, basta observar que as arestas são os lados dos polígonos das faces e que cada aresta surge quando juntamos dois polígonos, sendo que dois lados vão formar uma aresta.
E aí, ficou mais fácil??
Platão estudou algumas propriedades interessantes dos poliedros. Você se lembra do que é um poliedro? São objetos com muitas faces planas. São polígonos que tem todos os lados de mesmo comprimento e todos os ângulos internos de mesma medida, por isso chamados regulares. Apesar de existir infinitos tipos de polígonos regulares, há apenas cinco tipos de poliedros regulares que podem ser construídos, e que Platão já destacava a beleza da forma desses sólidos, os chamados: Poliedros de Platão. São eles:
tetraedro regular (4 faces triangulares);
hexaedro regular ou cubo (6 faces quadradas);
octaedro regular (8 faces triangulares);
dodecaedro regular (12 faces pentagonais);
icosaedro regular (20 faces triangulares).
Um poliedro tem faces que são polígonos, vértices que são os pontos onde várias faces se encontram formando um bico, e arestas, são os lados dos polígonos que formam as faces.
Segundo Platão, a matemática é um saber que faz voar o pensamento para os objetos mais sublimes, estimulando a agudeza de espírito.
Agora, quantas arestas tem cada um dos poliedros de Platão? É muito simples, basta observar que as arestas são os lados dos polígonos das faces e que cada aresta surge quando juntamos dois polígonos, sendo que dois lados vão formar uma aresta.
E aí, ficou mais fácil??
domingo, 31 de maio de 2009
O TRINÔMIO DE EULER
Leonard Euler nasceu na Basiléia, no dia 15 de abril de 1707 e morreu em São Petersburgo, no dia 18 de setembro de 1783. Desde os primeiros passos na Universidade, já era visto como um predestinado, consagrado criador dentro da matemática. Foi compondo milhares de obras, principalmente introduzindo o cálculo infinitesimal, que Euler se projetou como o matemático mais produtivo da humanidade. No clássico " Budget of Paradoxo " (Morgan), é contado o seguinte episódio: Catarina, a grande (Euler serviu na Universidade de Moscou, no País dos czares) convidou Diderot, filósofo Frances e conhecido ateu, para ouvir a demonstração algébrica que um doutor matemático ia fazer na corte, a respeito da existência de Deus. Euler, tal como a Rainha, tinha fé num criador. Em tom teatral e visando o sábio francês, Euler escreve na lousa a equação: x = a + b (elevado a n) /n e concluiu enfaticamente: portanto, Deus existe, conteste. Diderot mesmo sendo leigo em matemática compreende a peça do expositor, sente-se humilhado, principalmente porque todos riam dele, incluindo a Rainha, pede licença para se retirar.
No polinômio P(x) = x² + x + 41, chamado TRINÔMIO DE EULER , se encontrarmos o valor numérico desse polinômio, para x= -40, -39, ..., 39, encontraremos certamente números primos. Entretanto, para x= 40 e x= 41, os valores numéricos naõ saõ primos. E para x= 42 ? Naõ se sabe se o trinômio de Euler produz um número infinito de primos para valores inteiros de x.
- Qual o valor numérico do polinômio x²+x+41, para x=42 ? E para x= -38. Esses valores numéricos são primos ?
Agora com certeza, o trinômio de Euler é um verdadeiro campeão de números primos.
No polinômio P(x) = x² + x + 41, chamado TRINÔMIO DE EULER , se encontrarmos o valor numérico desse polinômio, para x= -40, -39, ..., 39, encontraremos certamente números primos. Entretanto, para x= 40 e x= 41, os valores numéricos naõ saõ primos. E para x= 42 ? Naõ se sabe se o trinômio de Euler produz um número infinito de primos para valores inteiros de x.
- Qual o valor numérico do polinômio x²+x+41, para x=42 ? E para x= -38. Esses valores numéricos são primos ?
Agora com certeza, o trinômio de Euler é um verdadeiro campeão de números primos.
domingo, 3 de maio de 2009
É LÓGICO ?
Estamos iniciando alguns textos sobre raciocínio lógico. Matéria ampla, muito requisitada ultimamente, na maioria dos concursos públicos. Essas noções elementares tem por base o princípio que para gostar de alguma coisa, é preciso conhecê-la. Então, vamos lá!
Na Grécia antiga, há mais de dois mil anos, Aristóteles, pode ser considerado o primeiro a se preocupar em organizar regras para para as diversas formas de justificar a partir de fatos básicos, nossas conclusões.
É muito comum em meio a uma conversa , quando queremos sustentar uma opinião, afirmarmos: é lógico. Quando enumeramos razoes bem fundamentadas juntas a uma conclusão , chamamos a esse conjunto de ARGUMENTO. A lógica se preocupa com o que se pode ou não concluir a partir de certas informações.
Veja um exemplo de argumentação bem construída:
- André certamente fez curso superior, pois ele é médico e médicos são formados em faculdades de medicina.
Observe agora:
- É lógico que a terra é redonda, pois a laranja é redonda e a bola de futebol é redonda.
Há uma boa relação entre as razoes e a conclusão?
Nosso interesse irá se concentrar nas sentenças ou proposições (palavras que exprimem idéias) apenas com dois valores lógicos: verdadeiro ou falso .
ex: p: Ana tem olhos verdes .
A uma proposição podemos representar a sua negação: Ana não tem olhos verdes.
Podemos concluir que se uma proposição é verdadeira sua negação será falsa. Se uma proposição é falsa, sua negação será verdadeira .
Algumas palavras são usadas para formar uma proposição a partir de outras , são os CONECTIVOS. Os principais são: "e", "ou", "se... então", "se e somente se".
Vamos Tentar:
Alice, Beatriz, Célia e Dora apostaram uma corrida.
Alice disse: Célia ganhou, Beatriz chegou em segundo lugar.
Beatriz disse: Célia chegou em segundo lugar e Dora em terceiro.
Célia disse: Dora foi a última, Alice a segunda.
Cada uma das meninas disse uma verdade e uma mentira. Assim, podemos afirmar:
a) Célia chegou em último lugar e Dora em terceiro lugar.
b) Dora foi a primeira colocada e Alice a última colocada.
c) Beatriz chegou em primeiro lugar e Célia em segundo.
d) Célia foi a primeira colocada e Beatriz a última colocada.
e) Dora chegou em terceiro lugar e Alice em último.
DICA : estabeleça como hipótese: A frase verdadeira de Alice é: Célia ganhou.
Na Grécia antiga, há mais de dois mil anos, Aristóteles, pode ser considerado o primeiro a se preocupar em organizar regras para para as diversas formas de justificar a partir de fatos básicos, nossas conclusões.
É muito comum em meio a uma conversa , quando queremos sustentar uma opinião, afirmarmos: é lógico. Quando enumeramos razoes bem fundamentadas juntas a uma conclusão , chamamos a esse conjunto de ARGUMENTO. A lógica se preocupa com o que se pode ou não concluir a partir de certas informações.
Veja um exemplo de argumentação bem construída:
- André certamente fez curso superior, pois ele é médico e médicos são formados em faculdades de medicina.
Observe agora:
- É lógico que a terra é redonda, pois a laranja é redonda e a bola de futebol é redonda.
Há uma boa relação entre as razoes e a conclusão?
Nosso interesse irá se concentrar nas sentenças ou proposições (palavras que exprimem idéias) apenas com dois valores lógicos: verdadeiro ou falso .
ex: p: Ana tem olhos verdes .
A uma proposição podemos representar a sua negação: Ana não tem olhos verdes.
Podemos concluir que se uma proposição é verdadeira sua negação será falsa. Se uma proposição é falsa, sua negação será verdadeira .
Algumas palavras são usadas para formar uma proposição a partir de outras , são os CONECTIVOS. Os principais são: "e", "ou", "se... então", "se e somente se".
Vamos Tentar:
Alice, Beatriz, Célia e Dora apostaram uma corrida.
Alice disse: Célia ganhou, Beatriz chegou em segundo lugar.
Beatriz disse: Célia chegou em segundo lugar e Dora em terceiro.
Célia disse: Dora foi a última, Alice a segunda.
Cada uma das meninas disse uma verdade e uma mentira. Assim, podemos afirmar:
a) Célia chegou em último lugar e Dora em terceiro lugar.
b) Dora foi a primeira colocada e Alice a última colocada.
c) Beatriz chegou em primeiro lugar e Célia em segundo.
d) Célia foi a primeira colocada e Beatriz a última colocada.
e) Dora chegou em terceiro lugar e Alice em último.
DICA : estabeleça como hipótese: A frase verdadeira de Alice é: Célia ganhou.
quinta-feira, 9 de abril de 2009
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
A tabela elaborada pelo prof. Mário Gustavo (Niterói- RJ) oferece alguns critérios de divisibilidade fáceis, porém sem regras decoradas (ótimo). O aluno pode verificar com facilidade, se um dado número é, ou não, divisível por um dado número primo (entre 7 e 100).
Concordo com professores de matemática quando afirmam que um critério de divisibilidade só é útil quando for mais simples que a própria divisão .
Vamos então conhecer a tabela:
NÚMEROS PRIMOS FORMA ADITIVA
7 (a + 5b)
11 (a + 10b)
13 (a + 4b)
17 (a + 12b)
19 (a + 2b)
23 (a + 7b)
29 (a + 3b)
31 (a + 90b)
37 9a + 26b)
41 (a + 37b)
43 (a + 13b)
47 (a + 80b)
53 (a + 16b)
59 ( a + 6b)
61 ( a + 55b)
67 (a + 47b)
71 ( a + 64b)
73 (a+ 22b)
79 ( a + 8b)
83 ( a + 25b)
89 (a + 9b)
97 (a + 68b)
Dado um número n, seja b seu algarismo das unidades e a o número formado pelos demais algarismos.
Por exemplo : 33684 é divisível por 7 ?
n = 33684 , b = 4 , a = 3368.
usando a forma aditiva : ( a + 5b )
3368 +20 = 3388,338 + 40 = 378,37 + 40 = 77,77 é múltiplo de 7, logo 33684 também é, assim como 378 e 3388.
Utilizando a tabela, 420945 é divisível por 19 ?
28574 é divisível por 13 ? 300763 é divisível por 67 ?
Você consegue?
4829006 é divisível por 13 ?
Concordo com professores de matemática quando afirmam que um critério de divisibilidade só é útil quando for mais simples que a própria divisão .
Vamos então conhecer a tabela:
NÚMEROS PRIMOS FORMA ADITIVA
7 (a + 5b)
11 (a + 10b)
13 (a + 4b)
17 (a + 12b)
19 (a + 2b)
23 (a + 7b)
29 (a + 3b)
31 (a + 90b)
37 9a + 26b)
41 (a + 37b)
43 (a + 13b)
47 (a + 80b)
53 (a + 16b)
59 ( a + 6b)
61 ( a + 55b)
67 (a + 47b)
71 ( a + 64b)
73 (a+ 22b)
79 ( a + 8b)
83 ( a + 25b)
89 (a + 9b)
97 (a + 68b)
Dado um número n, seja b seu algarismo das unidades e a o número formado pelos demais algarismos.
Por exemplo : 33684 é divisível por 7 ?
n = 33684 , b = 4 , a = 3368.
usando a forma aditiva : ( a + 5b )
3368 +20 = 3388,338 + 40 = 378,37 + 40 = 77,77 é múltiplo de 7, logo 33684 também é, assim como 378 e 3388.
Utilizando a tabela, 420945 é divisível por 19 ?
28574 é divisível por 13 ? 300763 é divisível por 67 ?
Você consegue?
4829006 é divisível por 13 ?
segunda-feira, 6 de abril de 2009
USANDO OS POLINÔMIOS
É muito comum o uso de letras para representar números ao escrever sentenças matemáticas. Quando não conhecemos o valor do número que estamos representando , a letra é chamada de incógnita. Quando o número representado pode assumir diferentes valores, a letra é chamada de variável.
Um monômio é uma expressão algébrica racional inteira representada pelo produto de números por variáveis. A adição algébrica de monômios não semelhantes, chamamos de polinômio. Uma série de fatos interessantes envolvem "truques" para cálculo mental rápido, que podem ser explicados usando uma representação de polinômios simples.
Por exemplo:
Se dois números de dois algarismos tem iguais os algarismos das dezenas, e se os algarismos das unidades somam 10 , pode-se calcular seu produto instantaneamente.
Veja, 77 x 73 =5621, multiplica-se o algarismo das dezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56. Acrescenta-se o produto dos algarismos das unidades, 7 x 3 =21.
Represente por a o algarismo das dezenas dos dois números considerados e por b o algarismo das unidades do primeiro número. Então o algarismo das unidades do segundo número será 10 - b.
Logo, 10a + b é o primeiro número e 10a + (10 - b), o segundo número. Seu produto é:
( 10a + b). (10a + 10 - b )= ... = 100a(a+ 1) +b(10 -b ).
Como anda o seu cálculo mental rápido?
Vamos resolver rapidamente : 52 x 58 , 67 x 63 , 81 x 89 , 34 x 36 , 41 x 49 , 2 7 x 23?
Um monômio é uma expressão algébrica racional inteira representada pelo produto de números por variáveis. A adição algébrica de monômios não semelhantes, chamamos de polinômio. Uma série de fatos interessantes envolvem "truques" para cálculo mental rápido, que podem ser explicados usando uma representação de polinômios simples.
Por exemplo:
Se dois números de dois algarismos tem iguais os algarismos das dezenas, e se os algarismos das unidades somam 10 , pode-se calcular seu produto instantaneamente.
Veja, 77 x 73 =5621, multiplica-se o algarismo das dezenas, 7, pelo seu sucessor, 8, achando 56. Acrescenta-se o produto dos algarismos das unidades, 7 x 3 =21.
Represente por a o algarismo das dezenas dos dois números considerados e por b o algarismo das unidades do primeiro número. Então o algarismo das unidades do segundo número será 10 - b.
Logo, 10a + b é o primeiro número e 10a + (10 - b), o segundo número. Seu produto é:
( 10a + b). (10a + 10 - b )= ... = 100a(a+ 1) +b(10 -b ).
Como anda o seu cálculo mental rápido?
Vamos resolver rapidamente : 52 x 58 , 67 x 63 , 81 x 89 , 34 x 36 , 41 x 49 , 2 7 x 23?
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